직교 좌표계와 극좌표계
물체의 운동을 표현하기 위해서는 위치와 속도, 가속도를 표현해야 하고, 이를 위해서는 그 기준이 될 좌표계가 필요하다. 우리는 3차원 공간에 살고 있지만, 간단하게 2차원 평면에서의 좌표계로 직교 좌표계와 극좌표계가 있다. 직교 좌표계 (Cartesian Coordinates) 데카르트가 침대에 누워 있다가 파리가 날아 다니는 것을 보고 천장의 격자 무늬에서 직교 좌표계를 고안했다는 일화는 너무나 유명하다. 서로 수직인 \(x\), \(y\) 축을 기준으로, 각 축 방향으로 원점 \((0, 0)\)으로부터 얼마나 이동해야 하는지를 나타내는 것이다. 직교 좌표계의 장점은 무엇보다 직관적이고, 축을 돌리지 않고 평행이동하는 경우의 변환이 매우 간단하다는 것이다. 극좌표계 (Polar Coordinates) 위치는 고정되어 있고, 회전이 가능한 대포를 상상해 보자. 포수에게 표적을 지시하기 위해서는 어떻게 해야 할까? 우선 대포가 표적을 향하도록 돌릴 각도를 알려 주어야 한다. 그리고 표적까지의 거리도 알려주면 포수는 표적을 정확히 찾을 수 있을 것이다. 극좌표계에서는 원점과 극축을 기준으로 해서 위치를 원점으로부터의 거리 \(r\)과 극축으로부터의 각도 \(\theta\)로 표현한다. (각도는 반시계 방향으로 갈수록 증가한다) 직교 좌표계에 비해 조금 덜 직관적이고, 평행이동하는 경우의 변환이 상당히 어렵지만, 좌표계의 원점을 고정한 채로 회전하는 경우의 변환이 매우 간단하다는 장점이 있다. 그리고 재미있는 특징으로, 360도를 더 돌아도 가리키는 각도는 그대로이기 때문에, 한 점을 나타내는 좌표가 유일하지 않다. 직교 좌표계와 극좌표계를 오가기 어느 한 점을 직교 좌표계외 극좌표계에서 표현했을 때 각각 \((x, y)\), \((r, \theta)\)라면, 이 두 좌표 사이에는 어떤 관계가 있을까? 문제를 간단히 하기 위해, 두 좌표계의 원점이 같고 직교 좌표계의 \(x\)축의 \(+\)방향이 극좌표계의 극축과 같다고 하자. 그러면 \...